有限元仿真分析中的隱式與顯式有限元算法

 有限元仿真分析中，隱式與顯式有限元最大的區(qū)別在于是否迭代，是否所有的物理量在同一時刻獲得。采用隱式迭代求解平衡方程（位移、速度和加速度）、而不管是否用隱式與顯式的方法（前向或者后向歐拉求解方法）求解本構(gòu)方程（應(yīng)力和應(yīng)變）叫做隱式有限元；用顯式時間積分的方法求解叫做顯式有限元。

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 今天，有限元科技小編跟大家分享的是：有限元仿真分析中的隱式與顯式有限元算法。

 首先，有限元科技小編認(rèn)為，對于本構(gòu)方程的求解，通常分為前向和后向歐拉算法。

 對于后向歐拉算法求解彈塑性問題，所有的物理量（包括等效塑性應(yīng)變增量、N+1迭代步的應(yīng)變和應(yīng)力以及相關(guān)依賴于solution的狀態(tài)變量）均是同時求解獲得，因為涉及到多個物理量，而通常情況下他們是相互依賴、相互成為函數(shù)，所以必須tyrp.net通過牛頓迭代同時求解幾個方程（如采用試應(yīng)力方程、屈服函數(shù)徑向返回算法（對于各向異性，也叫回映算法，最近點的投射算法）聯(lián)合求解等效塑性應(yīng)變增量）。對于前向歐拉，直接由N時刻的應(yīng)力和應(yīng)變求出N+1時刻的應(yīng)力和應(yīng)變，無需迭代。

 其次，對于平衡方程的求解，通常分為隱式和顯式有限元算法。

 對于隱式有限元算法，由應(yīng)力平衡方程+邊界條件變分之后獲得的剛度方程KU=F，隱式求解必須引入雅可比矩陣（二次收斂、只影響計算速率、不影響數(shù)值精度；K又稱為雅可比），其是實時更新的，是N+1時刻的應(yīng)力、應(yīng)變以及狀態(tài)變量（如損傷內(nèi)變量）的函數(shù)，隱式求解是很robust的，確保了計算精度，但是不足之處在于計算非常expensive，每次迭代都要計算K的逆矩陣，也容易產(chǎn)生數(shù)值收斂性問題，目前解決的方法有弧長法、粘性阻尼法等，有限元科技小編認(rèn)為粘性阻尼法效果最好。

 對于顯示算法，采用時間積分，用t+1時刻的積分點應(yīng)力、應(yīng)變，獲得t+1時刻的節(jié)點位移，無需迭代求解，也不需要雅可比矩陣（應(yīng)力對應(yīng)變偏導(dǎo)數(shù)）；如果硬是要有，連續(xù)雅可比，基于本構(gòu)模型而不是剛度方程推導(dǎo)近似的連續(xù)雅可比。對于顯示算法，單元高斯積分點應(yīng)力、應(yīng)變的求解可用前向或者后向歐拉方法，tyrp.net然后通過時間積分求取節(jié)點位移。本質(zhì)上，平衡方程中位移的迭代求解與本構(gòu)方程中的應(yīng)力、應(yīng)變求解沒有關(guān)聯(lián)，這點很容易造成誤解，很多時候?qū)⑶?、后歐拉算法視為顯式和隱式的區(qū)別，大大錯誤。通常應(yīng)用較廣的顯示算法紐馬克法、威爾遜-sita法，其中改變紐馬克法中的兩個參數(shù)，可以實現(xiàn)隱式與顯式求解，其中alpha=0.5和beta=0是中心差分法(二階精度)。目前一個大的誤區(qū)認(rèn)為只有顯示算法可以求解動力學(xué)問題，tyrp.net隱式只能求解準(zhǔn)靜態(tài)問題（如低速沖擊），alpha=0.5和beta=0.25就是隱式，所有的物理量在t+1時刻同時求解，通常Abaqus軟件中所說的隱式動力學(xué)求解采用了斯坦福大學(xué)Hilber、HUGHES院士（現(xiàn)在德克薩斯大學(xué)奧斯丁分校）和加州大學(xué)伯克利分校Taylor院士提出的無條件穩(wěn)定隱式差分算法，可以求解低速動力學(xué)問題，缺點是不適合含阻尼的求解、計算效率不高；alpha=0.5和beta=0時的紐馬克法更適合求解動力學(xué)問題，主要原因在于比隱式求解計算效率更高，不足之處在于其是條件穩(wěn)定，時間增量過大位移解容易震蕩，根本原因是差分算法的條件穩(wěn)定導(dǎo)致的，時間增量必須非常?。ㄆ渲翟酱螅环矫娌环€(wěn)定、另一方面計算誤差也更大），其依賴于波速、彈性模量和最小單元網(wǎng)格尺寸tyrp.net，這是顯式算法計算最耗時的地方。相對于隱式算法，顯式算法的功能更強(qiáng)大，通常計算依賴于率的變形和應(yīng)力，也可以求解穩(wěn)態(tài)問題，如alpha=0.5和beta=0時，對于剛度方程中引入阻尼矩陣后，叫做動態(tài)松弛法，可以解決靜力學(xué)問題的一些穩(wěn)態(tài)問題（如重力、預(yù)應(yīng)力引起的初始應(yīng)力）。此外，一些準(zhǔn)靜態(tài)的剪切自鎖問題，本質(zhì)上有解，但是用牛頓法求解失效，中心差分引入質(zhì)量矩陣后，可以獲得正常的解。需要注意的是，時間積分算法通常采用Lumped集中對角質(zhì)量矩陣而不是一致質(zhì)量矩陣，以提高計算效率?？傮w來說，由于計算效率的問題，隱式時間積分算法Abaqus-Standard特別適合于低速沖擊問題；對于高速沖擊問題，由于存在不連續(xù)非線性接觸的動響應(yīng)過程，隱式算法解決不好，使用顯式時間算法Abaqus-Explicit更好。此外，對于瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題，半離散的拋物線方程，中心差分法可以較好獲得溫度分布。

 對于依賴于率的粘塑性問題（對于本質(zhì)上的粘性材料），與彈塑性材料的根本區(qū)別在于，一般來說是一致性條件不滿足（排除彈塑性材料在高溫下的軟化問題，對于這種問題，屈服條件也可以滿足），即屈服條件不滿足，N+1時刻的物理量不用回映到N+1時刻的屈服面上，粘塑性模型成為過應(yīng)力模型，顯示和隱式算法都可以求解。對于依賴于率的本構(gòu)模型，其可解決模擬高速沖擊、爆炸、彈道射擊問題時存在的動態(tài)應(yīng)變局部化問題（對于動態(tài)問題，平衡方程喪失雙曲線特性；對于靜態(tài)問題，平衡方程失去橢圓性），解決網(wǎng)格尺寸效應(yīng)，其實質(zhì)上是引入了適當(dāng)?shù)淖枘徇t滯效應(yīng)。需要注意的是，對于大變形(又稱為有限變形)問題，Cauchy應(yīng)力率和速度梯度（包括客觀和對稱的扭曲張量率D、不客觀和反對稱的spin旋轉(zhuǎn)張量W兩個部分）均是不客觀的，為解釋剛體旋轉(zhuǎn)（如純剪切變形就包含剛體旋轉(zhuǎn)），在共旋坐標(biāo)系下面求解真實應(yīng)力和應(yīng)變，應(yīng)力和應(yīng)變積分求解的時候應(yīng)首先求解客觀性的Jaumann應(yīng)力率(相對于真實應(yīng)力，空間坐標(biāo)系)，相對于SecondPiola-Kirchhoff應(yīng)力是Truesdell率（材料坐標(biāo)系）。Abaqus軟件對于大變形問題已經(jīng)做了旋轉(zhuǎn)。

 對于一些耦合場問題，由于計算量非常大，同時要求解太多物理量，如熱-流-固耦合，要求解位移、壓力、溫度，采用純隱式算法或顯式算法基本不太獲得收斂或準(zhǔn)確的解，這時候可采用混合的隱式與顯式有限元格式mixedimplicit-explicitpartitoning方法，將剛度矩陣和阻尼矩陣分成兩個部分，在同一區(qū)域采取不同算法，提高計算效率和精度、穩(wěn)定性和收斂性。

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