【知識普及】有關(guān)有限元分析的那些基本認識

 在有限元分析領(lǐng)域，大家似乎看到過很多縮寫，比如CAE、FEM、FE、CFD、FEA等等，但從英文全程來看其實他們區(qū)別不大。比如CAE，英文全稱是ComputerAidedEngineering，即計算機輔助工程；FEM，F(xiàn)initeElementMethod，即有限元方法；FEA，F(xiàn)initeElementAnalysis，有限元分析；CFD，ComputationalFluidDynamics，計算機流體動力學(xué)。可以看出，除了CFD強調(diào)流體以外，F(xiàn)EA、CAE、FEM其實都是一個范疇的，即有限元法相關(guān)，其實CFD也是他們的一個分支。為了統(tǒng)一，我們?nèi)EA為有限元分析的簡稱。

 什么是FEA呢？我們來簡單介紹一下。

 在數(shù)學(xué)上，有限元方法（FiniteElementMethod）是一種為偏微分方程的邊界值問題尋找近似解的數(shù)值計算方法，既然是數(shù)值計算方法，所以是沒有精確解的。它將一個區(qū)域分成簡單的小單元，這些小單元稱為有限元，并使用各種微積分的各種求解方法在最小誤差函數(shù)下求解問題。類似于連接許多小段直線可以近似逼近一個圓一樣，有限元法綜合每個小單元的方程去近似逼近整個大范圍內(nèi)的方程域。

 離散化實例：

 這個比喻我想大家都容易理解，通過無限個三角形去逼近一個圓形，由數(shù)學(xué)的極限可知，只要三角形最夠多，誤差就會趨向于0。而實際模型就是通過很多微小的實體或平面單元去逼近的，那么實際模型可以用無限個單元去逼近嗎，顯然是不可能的（單元劃分大小的選擇會在后續(xù)詳細講解）。離散化以后，單元間是通過節(jié)點相連接點，這個連接節(jié)點是非常重要的，因為：

 在計算機求解時，每個節(jié)點都是輸入/輸出源

 加載力會在相互連接的節(jié)點間傳遞

 如下圖，每個單元都由相應(yīng)的控制方程所詮釋，而節(jié)點是溝通這些方程的媒介，有了節(jié)點，就能構(gòu)造龐大的模型

 下面說說一般的FEA分析流程如下：

 舉個例子：

 有限元分析的對象是現(xiàn)實世界中的物理模型，當(dāng)我們面對一個實際的對象時，我們首先要做的是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，比如上面推車的例子，我們要先分析出模型的受力，從物理系統(tǒng)到數(shù)學(xué)模型的理想化是第一步，我們要做到：

 理解物理系統(tǒng)的力學(xué)形式

 使用理論物理的方法建立數(shù)學(xué)關(guān)系

 理解數(shù)學(xué)模型背后的隱含假設(shè)

 獲得分析所需的邊界條件（如約束和加載力）

 這里我們最需要的就是邊界條件，有了邊界條件我們才能在后續(xù)施加正確的條件來求解。

 有了模型，那么我們就該離散化了，也就是劃分網(wǎng)格了，那么我們就直接劃分網(wǎng)格嗎，這是初學(xué)者容易犯的錯誤，拿到一個模型就開始劃分網(wǎng)格，而且我猜幾乎都是3D四面體網(wǎng)格。

 我得告訴大家，有限元分析最費時的部分就是劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分好了，后面求解就是分分鐘的事情，大不了就是等計算機算完。為了獲得可靠的結(jié)果又節(jié)約求解時間，復(fù)雜的模型劃分甚至能耗去幾小時，幾天或者幾周的時間。

 一般來說，3D六面體網(wǎng)格會比3D四面體來得精確，3D四面體網(wǎng)格是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（和節(jié)點相連的網(wǎng)格類型不相同，比如一個四面體和六面體共用了同一個節(jié)點），3D六面體網(wǎng)格是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（和節(jié)點相連的網(wǎng)格類型相同）。

 非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格最大的特點是能劃分任意復(fù)雜的模型，而且時間快，但網(wǎng)格比結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格多幾倍，求解時間會很慢，而且結(jié)果的收斂性沒有結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格好。如下圖：

 如果網(wǎng)格劃分不好，結(jié)果會大相徑庭。所以面對一個模型我們要綜合考慮各種因素來選擇劃分的網(wǎng)格類型，況且除了3D單元以外，還有1D和2D單元，不同的場合選擇也是不一樣的。

 其實大多數(shù)情況下我們會采用3D四面體網(wǎng)格，但不是所有樣子的3D四面體網(wǎng)格都是可行的，我們需要檢查其各種參數(shù)，比如長寬比，扭曲系數(shù)，雅可比因子等等，只有通過一定的參數(shù)檢查，我們才能保證結(jié)果的準確。

 另外在劃分網(wǎng)格以前，我們還要對模型進行處理，也稱為模型理想化，既要把對分析結(jié)果沒什么影響的結(jié)構(gòu)給去掉，比如細小孔和其它細微結(jié)構(gòu)，還有就是有問題的地方比如破面等要修復(fù)。

 為什么這樣做呢，在FEA分析領(lǐng)域有這樣一句話：ThedetailofmodelisadreamofCADdesigner，butanightmareofCAEer（模型的細節(jié)是CAD設(shè)計人員的夢想，卻是CAE仿真人員的惡夢）。

 可見，如果一個結(jié)構(gòu)太過于細微，那么網(wǎng)格劃分是很難成功的，所以我們要先理想化地去除，因為這些細節(jié)對結(jié)果是沒有多大影響的。

 網(wǎng)格劃分的好，邊界條件也有了，那么后面的求解和后處理也就變得很簡單了。

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