接觸仿真分析的基本原理是什么?(2)

 知道了程序如何偵測接觸的發(fā)生，現(xiàn)在就是要讓程序形成離散化的接觸力學控制方程，所以這里我們來看控制方程的組成。為了簡單起見，我們只考慮沒有摩擦和粘連的情況。　　

 上次已經(jīng)說了，接觸問題是一個對人類很直觀但是對機器很繁瑣的問題，其控制方程也不例外。我們知道固體力學基于位移的控制方程無非是下面幾坨：　　

 力平衡方程；　　

 位移－應(yīng)變方程；　　

 本構(gòu)方程；　　

 邊界條件。　　

 在接觸問題上，因為在接觸面位移和力邊界條件都是未知，所以以上方程我們要稍作修改。以力平衡弱形式為例，考慮接觸面之后可以寫成：

 從左到右各項分別描述了內(nèi)力，接觸應(yīng)力，邊界條件，和體力對力平衡的貢獻。因為只考慮無摩擦的情況，接觸應(yīng)力項只包括垂直于接觸面的柯西應(yīng)力分量和垂直于接觸面的接觸體距離的變分。這是平衡方程中唯一因為接觸而添加的項。　　

 針對接觸面上的兩個新的未知量，數(shù)學上有兩種途徑來應(yīng)對：　　

 為新的未知量添加新的約束條件。　

 去掉新的未知量，轉(zhuǎn)而改寫以上控制方程的形式。　　

 先來看1：新的約束條件應(yīng)該只施加于將會（未激活）和已經(jīng)（已激活）的接觸位置上。直觀地看，它們大概應(yīng)該是：　　

 接觸體之間的距離不為負數(shù)（沒有穿透），距離為零表示接觸激活；　　

 接觸體之間的接觸壓力不為負數(shù)（沒有拉扯），壓力為零表示接觸未激活；　　

 同一個位置，要么接觸壓力為零（接觸沒有激活），要么接觸距離為零（接觸激活）。　　

 這些直觀的條件，上個世紀初被人發(fā)現(xiàn)是接觸問題求解的必要條件。今天通常稱為Signorini條件。雖然看似淺顯，實際上因為接觸問題可以翻譯為加上了接觸面約束的對內(nèi)能求變分的約束優(yōu)化問題，所以Signorini條件等價于優(yōu)化理論上的KKT條件，身價一下就高大上了。下次你和人家說你知道接觸原理，不說你知道Signorini條件都不好打招呼。　　

 根據(jù)以上三個約束條件，我們可以得出控制方程中第二項（接觸項）恒不為正。把這個結(jié)論引入控制方程，我們就實現(xiàn)了上文說的途徑2：把控制方程的形式從等式變?yōu)榱瞬坏仁剑?/span>

 所以，我們得到了接觸問題的兩種表達方式：變分等式方程+Signorini不等式約束，和變分不等式方程。雖然兩種描述是等效的，但是因為應(yīng)用到數(shù)值求解還是等式形式更方便，變分不等式除了在理論和定性分析上然并卵。　　

求解加上了不等式約束的弱形式，優(yōu)化理論的很多辦法都用得上。最流行的是三種：罰函數(shù)，拉格朗日乘數(shù)，和增強拉格朗日乘數(shù)。今天最后就說說罰函數(shù)。　　

 罰函數(shù)本質(zhì)上是通過對接觸壓力形式的規(guī)定對Signorini條件提供一種近似。這種近似假設(shè)接觸面的壓力是這么一種函數(shù)形式，這個函數(shù)滿足：　　

 接觸體距離大于零的時候函數(shù)值為0；　　

 接觸發(fā)生后，函數(shù)值隨接觸穿透距離而單調(diào)增加。

 對比一下上文的三個條件，可以發(fā)現(xiàn)這樣的壓力函數(shù)和接觸體距離關(guān)系除了違反“沒有穿透”的條件，其他的都滿足。為了補償穿透的條件，罰函數(shù)本質(zhì)上給接觸面安了（多）個彈簧，來盡量實現(xiàn)接觸體的分離。彈簧的彈性模量由壓力函數(shù)決定，所以罰函數(shù)法的性能直接決定于這個函數(shù)的形式。罰函數(shù)法是最早應(yīng)用于接觸問題的算法，所以現(xiàn)今所有通用有限元程序都應(yīng)用了它。所以，下次答辯或者面試，有人問你接觸方程罰函數(shù)法的原理，請穩(wěn)穩(wěn)道出兩個詞：“Signorini”和"彈簧"。　　

 下次接著說有限元對接觸方程的離散。

 接觸仿真分析的基本原理是什么?(1)

 接觸仿真分析的基本原理是什么?(3)

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