接觸仿真分析的基本原理是什么?(3)

 有了接觸控制方程，下面就是要進行離散化。這里我們以node-to-surface和罰函數(shù)法為例說說接觸項的離散。Node-to-surface，顧名思義，兩個接觸面中，slave面由節(jié)點代表，master面由單元面代表。接觸檢測算法能保證每個slave節(jié)點至少對應(yīng)一個master面，這就是所謂的接觸單元。　　

 不像平常我們遇到的結(jié)構(gòu)單元，接觸單元是沒有實體對應(yīng)的單元概念，其任務(wù)是在離散化的時候負責(zé)接觸項的離散。換句話說，接觸單元的任務(wù)是在離散模型中聯(lián)系兩個接觸體并傳遞內(nèi)力。所以，借用罰函數(shù)法的闡釋，不妨把接觸單元理解為接觸體之間的彈簧或者膠水。有趣的是，“膠水”這個比喻恰恰是處理區(qū)域分解的Mortar法的意思，而Mortar法在surface-to-surface接觸中應(yīng)用非常多。要注意的是，根據(jù)搜索算法和幾何構(gòu)型情況，slave節(jié)點可以同時和多個master平面形成接觸單元。

 在把接觸面離散為接觸單元后，力平衡方程弱解形式中的接觸項就變成了下面這個樣子。意思是說，接觸面上的虛功由slave節(jié)點和master單元面組成的接觸單元構(gòu)成。像上次一樣，我們?nèi)匀恢豢紤]最簡單的沒有摩擦的形式。　

 既然是基于位移的有限元，那么上面這個接觸項就應(yīng)該用位移來表示。所以，最后一步就是把形函數(shù)和等參元條件加進來。于是接觸壓力和接觸體距離（gap）的變分表示為

 意思是說，在接觸單元，接觸壓力是接觸距離的函數(shù)（回憶一下罰函數(shù)法的彈簧概念）。接觸距離是slave節(jié)點位置和master單元面表示。而master單元面又是由描述該單元的節(jié)點位置和形函數(shù)表示。所以這么一來大家都變回了位移－形函數(shù)的形式。這也是所有有限元離散的基本思路：控制方程－弱解－形函數(shù)表達。　　

 于是至少現(xiàn)在我們在形式上把問題變得和常見有限元形式一致了。后面的就是組成剛度矩陣求解了。因為接觸壓力的表達形式也含有位移（再回憶下罰函數(shù)彈簧），所以通常要求解非線性方程，那于是就交給牛頓法了。　　

 這個系列我們只說了最簡單的情形：正面無摩擦接觸和罰函數(shù)法。把滑動和摩擦加進來之后，問題還要糾結(jié)地多。另外，線單元與線單元的接觸也有很多技術(shù)細節(jié)。上面說的方法的還有一個前提：用戶事先定義接觸體。但在實際應(yīng)用中，還有很多問題事先是不知道誰和誰會接觸的。比如說下圖網(wǎng)球擊打球拍的問題。動力模擬之前是不知道球體和哪根線單元發(fā)生接觸的。于是現(xiàn)代求解器都朝著自動解除的傻瓜方向發(fā)展，比如說現(xiàn)在ABAQUS已經(jīng)基本實現(xiàn)了，Ansys，OptiStruct等也在陸續(xù)實現(xiàn)。

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