有限元法分析結(jié)果的誤差影響，四類誤差您了解嗎？
本文指出了有限元法分析結(jié)果的誤差影響存在于其每一操作步驟，并對(duì)這些誤差進(jìn)行了歸類分析。隨后，結(jié)合工程實(shí)例，通過改變單元類型（形狀和精度）、調(diào)整單元尺寸大小和應(yīng)用多種分網(wǎng)方式，顯示理想化誤差和離散化誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。最后，提出建議和今后的研究方向。深圳市有限元科技有限公司是一家有十年有限元分析項(xiàng)目經(jīng)驗(yàn)的高科技企業(yè)，公司代理國(guó)外多款著名有限元軟件，并提供軟件的銷售與培訓(xùn)業(yè)務(wù)，另研發(fā)出多款行業(yè)有限元通用軟件，并秉承以最高質(zhì)量的產(chǎn)品和最高質(zhì)量的服務(wù)滿足客戶的各種需求的服務(wù)理念，致力于為客戶提供一站式有限元整體解決方案，目前已為全國(guó)超過500家企業(yè)提供有限元分析服務(wù)。如需購(gòu)買有限元軟件或咨詢服務(wù)請(qǐng)聯(lián)系電話：13632683051，咨詢QQ：4006046636。
引言
有限元法分析起源于50年代初桿系結(jié)構(gòu)矩陣的分析。隨后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用結(jié)構(gòu)離散化的概念，將連續(xù)介質(zhì)體或復(fù)雜結(jié)構(gòu)體劃分成許多有限大小的子區(qū)域的集合體，每一個(gè)子區(qū)域稱為單元（或元素），單元的集合稱為網(wǎng)格，實(shí)際的連續(xù)介質(zhì)體（或結(jié)構(gòu)體）可以看成是這些單元在它們的節(jié)點(diǎn)上相互連接而組成的等效集合體；通過對(duì)每個(gè)單元力學(xué)特性的分析，再將各個(gè)單元的特性矩陣組集成可以建立整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)方程式，即力學(xué)計(jì)算模型；按照所選用計(jì)算程序的要求，輸入所需的數(shù)據(jù)和信息，運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。
當(dāng)前，有限元方法/理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟和完善，而計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷革新，又在很大程度上推進(jìn)了有限元法分析在工程技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。然而，如此快速地推廣和應(yīng)用使得人們很容易忽視一個(gè)前提，即有限元分析軟件提供的計(jì)算結(jié)果是否可靠、滿足使用精度的前提，是合理地使用軟件和專業(yè)的工程分析。只有這兩者很好地結(jié)合，我們才能得到工程上切實(shí)可信的計(jì)算結(jié)果，否則只會(huì)在工程上造成極大的浪費(fèi)，甚至帶來(lái)嚴(yán)重的工程事故。
誤差分析題
有限元法分析一般包括四個(gè)步驟：物理模型的簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)模型的程序化、計(jì)算模型的數(shù)值化和計(jì)算結(jié)果的分析。每一個(gè)步驟在操作過程中都或多或少地引入了誤差，這些誤差的累積最終可能會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成災(zāi)難性的影響，進(jìn)而蒙蔽我們的認(rèn)識(shí)和判斷。
第一步，物理模型的簡(jiǎn)化，主要有幾何實(shí)體、連接/裝配關(guān)系、環(huán)境邊界條件和材料特性的簡(jiǎn)化，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。這些簡(jiǎn)化或者說(shuō)假設(shè)，是必要的，也是必須的，但是也由此在模型中引入了理想化誤差（idealizationerror）。
有些理想化誤差是非良性奇異的，比如幾何實(shí)體簡(jiǎn)化時(shí)細(xì)節(jié)部位上忽略小的圓/倒角，連接/裝配關(guān)系簡(jiǎn)化時(shí)忽略焊縫和螺栓連接等，往往導(dǎo)致模型發(fā)生結(jié)構(gòu)方面（諸如L形截面的角點(diǎn)）的奇異，即結(jié)構(gòu)奇異（奇異的數(shù)學(xué)定義是在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)無(wú)窮）；
有些理想化誤差是良性奇異的，比如邊界條件簡(jiǎn)化時(shí)添加集中載荷和孤立點(diǎn)約束，導(dǎo)致模型發(fā)生邊界條件的奇異，即邊界奇異；
其它理想化誤差，比如幾何實(shí)體簡(jiǎn)化時(shí)三維殼/面體簡(jiǎn)化為二維殼/面、三維梁簡(jiǎn)化為一維梁，邊界條件簡(jiǎn)化時(shí)非均勻溫度場(chǎng)和壓力場(chǎng)簡(jiǎn)化為均勻溫度場(chǎng)和壓力場(chǎng)等，只會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度，不會(huì)引發(fā)計(jì)算結(jié)果方面的數(shù)值奇異，即應(yīng)力奇異和位移奇異等。
理想化誤差是在有限元法分析開始之前引入的，因此我們不可能通過改進(jìn)有限元分析技術(shù)來(lái)達(dá)到消除其的目的，而只能通過修改數(shù)學(xué)模型本身來(lái)實(shí)現(xiàn)消除其的目的。
第二步，數(shù)學(xué)模型的程序化，主要有幾何實(shí)體的單元離散、單元網(wǎng)格的裝配連接、模型環(huán)境邊界條件的添加，進(jìn)而構(gòu)建計(jì)算模型。幾何實(shí)體的離散，和單元類型（形狀和精度）、單元尺寸以及分網(wǎng)方式的選擇有關(guān)，不可避免地會(huì)引入離散化誤差（discretizationerror）。
離散化誤差，是根植于有限元法分析本身的，因此只能通過改進(jìn)有限元分析技術(shù)或者技巧來(lái)盡力消除/減小這方面的誤差，比如采用規(guī)則化的單元形狀避免單元在形狀上產(chǎn)生奇異（即單元奇異）、提高單元精度和增加網(wǎng)格密度減小計(jì)算方面的誤差等方法。
單元網(wǎng)格的裝配連接一般采用MPC多點(diǎn)約束法，因而會(huì)引入人為誤差（artificialerror），這方面誤差的消除更多是需要長(zhǎng)期計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的積累。模型環(huán)境邊界條件的添加，其誤差影響依賴于第一步的理想化簡(jiǎn)化。
第三步，計(jì)算模型的數(shù)值化，主要是用數(shù)值計(jì)算方法（程序求解器）求解、逼近真實(shí)的解析值，因而必然存在數(shù)值化誤差（numericalerror）。
數(shù)值計(jì)算方法的精度（非人為可控）越高，計(jì)算結(jié)果的誤差就越小，但計(jì)算的工作量也越大。實(shí)際考慮到計(jì)算精度和計(jì)算資源的利用，必然要做一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一。
第四步，計(jì)算結(jié)果的分析，主要是利用數(shù)值計(jì)算結(jié)果來(lái)分析、評(píng)判，或預(yù)知真實(shí)的物理模型，由此也存在著認(rèn)知誤差（recognizederror）。
認(rèn)知誤差的消除，一方面需要真實(shí)物理試驗(yàn)的指導(dǎo)，另一方面依賴于分析人員的工程經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知能力。同時(shí)，不要忘記了我們的前提假設(shè)，即第一步物理模型的簡(jiǎn)化，或假設(shè)。
下文，將通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明理想化誤差和離散化誤差對(duì)有限元法分析結(jié)果的影響。計(jì)算時(shí)，采用有限元數(shù)值分析軟件ANSYS11.0版本，32位操作系統(tǒng)軟件WindowsXP版本，HPxw4200服務(wù)器硬件平臺(tái)，保證了程序求解器及其運(yùn)行環(huán)境的統(tǒng)一，以消除數(shù)值化誤差。
實(shí)例分析
圖1起豎支耳模型
圖1中所示為工程上最常見的起豎支耳模型，其包括兩個(gè)部分：橫板和豎耳。工藝生產(chǎn)上，即可以將橫板和豎耳做成一個(gè)整體鑄件（如圖1.a），也可以將二者作為兩個(gè)單獨(dú)的部件焊接而成（如圖1.b）。
有限元分析時(shí)，一般會(huì)忽略鑄件上小的過渡圓角，也經(jīng)常忽略焊接件上的焊縫，即而簡(jiǎn)化為適于分析的幾何實(shí)體（如圖1.c）。工程使用中，起豎機(jī)構(gòu)通過銷軸作用于豎耳銷孔以推動(dòng)橫板連接機(jī)構(gòu)完成起豎，具體壓力載荷P的數(shù)學(xué)形式可表示為：
上式(1)中，P0為最大壓力載荷幅值，θ為載荷作用面上某點(diǎn)的周向角度，F(xiàn)為真實(shí)的載荷力，R為銷孔半徑，L為銷孔縱向長(zhǎng)度。數(shù)學(xué)建模時(shí)，僅為滿足工程簡(jiǎn)單計(jì)算的需求，材料模型通常取為線性彈性模型。
為了顯示計(jì)算結(jié)果的誤差影響，這里選用三種評(píng)估方法：智能化自由網(wǎng)格劃分、規(guī)則化網(wǎng)格劃分和自適應(yīng)P改進(jìn)，見表1。
表1三種評(píng)估方法
智能化自由網(wǎng)格劃分，利用SMRTSIZE選項(xiàng)控制單元尺寸大小，分割幾何實(shí)體為四面體單元，單元形狀較差，計(jì)算效率低；規(guī)則化網(wǎng)格劃分，利用線段分割數(shù)參數(shù)NSize控制網(wǎng)格單元大小，保證幾何實(shí)體規(guī)則劃分，以避免單元奇異，進(jìn)而消除離散化帶來(lái)的誤差影響；自適應(yīng)P改進(jìn)在規(guī)則化網(wǎng)格劃分的基礎(chǔ)上，通過提高單元精度以展示所關(guān)心位置處節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力收斂過程，進(jìn)而顯示理想化誤差帶來(lái)的影響。
關(guān)心位置包括：幾何簡(jiǎn)化引起結(jié)構(gòu)奇異的位置，豎耳根部左下角LUGDL、右下角LUGDR、左上角LUGUL和右上角LUGRL，這些位置的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力通常不會(huì)收斂，即應(yīng)力奇異；邊界約束引起邊界奇異的位置，橫板約束根部左下角PLATEDL、右下角PLATEDR、左上角PLATEUL和右上角PLATEUR，這些位置受剛性約束限制了其橫向位移（泊松比效應(yīng)）從而導(dǎo)致應(yīng)力不收斂；實(shí)體離散可能引起單元奇異的位置，銷孔左下角PINDL、右下角PINRL、左上角PINUL和右上角PINUL，這些位置若網(wǎng)格規(guī)則其應(yīng)力集中，若網(wǎng)格不規(guī)則其應(yīng)力奇異。
1、智能化自由網(wǎng)格劃分
按照有限元分析軟件前處理步驟，首先定義了單元類型（三維十節(jié)點(diǎn)四面體結(jié)構(gòu)單元SOLID187）、實(shí)常數(shù)和材料模型參數(shù)；然后，采用智能化自由網(wǎng)格劃分技術(shù)對(duì)幾何實(shí)體圖1.c進(jìn)行分網(wǎng)（見圖2所示），單元尺寸大小由SMRTSIZE參數(shù)控制；最后，對(duì)模型進(jìn)行檢查，確保無(wú)誤后退出前處理模塊。
圖2有限單元模型
進(jìn)入有限元分析軟件計(jì)算模塊，首先給計(jì)算模型添加環(huán)境邊界條件：橫板左、右面固定約束，豎耳銷孔位置施加式(1)形式的載荷，其合力沿水平正Z軸方向；隨后，設(shè)置求解環(huán)境參數(shù)，靜態(tài)分析；最后，對(duì)模型進(jìn)行檢查，確保無(wú)誤后求解退出計(jì)算模塊。
圖3銷孔上下邊緣應(yīng)力變化曲線
圖4豎耳根部角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線
圖5橫板約束角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線
由圖3-圖5所示，可以發(fā)現(xiàn)：
（1）豎耳根部、銷孔上下緣和橫板約束根部的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力具有比較明顯的網(wǎng)格敏感特性，當(dāng)網(wǎng)格密度達(dá)到一定程度時(shí)其整體趨勢(shì)是隨著網(wǎng)格密度的增加（SMRTSIZE越小）應(yīng)力值無(wú)限增加，即不收斂；
（2）由于網(wǎng)格不太規(guī)則，使得載荷和位移邊界條件偏離對(duì)稱特性，因而對(duì)稱位置的應(yīng)力數(shù)值有明顯偏差。
眾所周知，特定工況下結(jié)構(gòu)的真實(shí)應(yīng)力，其數(shù)值只能有一個(gè)，具有唯一性。考慮到數(shù)值計(jì)算的精度問題，其應(yīng)力計(jì)算值可能是一個(gè)圍繞真實(shí)應(yīng)力在一定精度范圍內(nèi)波動(dòng)的數(shù)值，而隨著數(shù)值精度的不斷提高，應(yīng)力計(jì)算值將會(huì)逐漸趨于一個(gè)有限數(shù)值，即真實(shí)應(yīng)力。由此看來(lái)，圖3~圖5所示關(guān)心位置處應(yīng)力并非真實(shí)的應(yīng)力，而是計(jì)算得到的虛假應(yīng)力。
2、規(guī)則化網(wǎng)格劃分
采用三維二十節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體單元SOLID186，利用線段分割數(shù)參數(shù)NSize控制網(wǎng)格單元大小，掃略劃分圖1.c幾何實(shí)體，見圖6所示。
圖6有限單元模型
由圖7~圖8所示，可以看出：
（1）由于網(wǎng)格規(guī)則，使得載荷和位移邊界條件滿足對(duì)稱特性，因而對(duì)稱位置的應(yīng)力數(shù)值基本完全重合；
（2）豎耳根部和橫板約束根部的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力仍具有比較明顯的網(wǎng)格敏感特性，其整體趨勢(shì)是隨著網(wǎng)格密度的增加（NSize越大）應(yīng)力值無(wú)限增加，即不收斂；
（3）銷孔上下邊緣的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力在4.45~4.50MPa范圍內(nèi)波動(dòng)，且有收斂態(tài)勢(shì)，因而其應(yīng)力計(jì)算值為真實(shí)應(yīng)力。
以上分析表明，銷孔上下邊緣的應(yīng)力結(jié)果誤差為離散化誤差，而豎耳根部角點(diǎn)和橫板約束角點(diǎn)的應(yīng)力結(jié)果誤差為理想化誤差。
圖7銷孔上下邊緣應(yīng)力變化曲線
圖8豎耳根部角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線
圖9橫板約束角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線
3、自適應(yīng)P改進(jìn)
采用三維二十節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體P單元SOLID147（其位移模式中形函數(shù)的階次可以在2~8之間自適應(yīng)選擇），設(shè)置線段分割數(shù)參數(shù)NSize=3控制網(wǎng)格單元大小，掃略劃分圖1.c幾何實(shí)體，見圖10所示。
圖10有限單元模型
由圖11~圖13所示，可以看出：
（1）豎耳根部和橫板約束根部的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力隨單元精度的提高無(wú)限增加，不收斂；
（2）銷孔上下邊緣的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力隨單元精度的提高逐漸收斂于4.39MPa左右。
由此再次表明，銷孔上下邊緣的應(yīng)力結(jié)果誤差為離散化誤差，而豎耳根部角點(diǎn)和橫板約束角點(diǎn)的應(yīng)力結(jié)果誤差為理想化誤差。
圖11銷孔上下邊緣應(yīng)力變化曲線
圖12豎耳根部角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線
圖13橫板約束角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線
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